cielo様キャリアカウンセラーの笹木と申します。
どうぞ宜しくお願いします。
まずは失業保険を受給中に派遣の仕事の紹介があって良かったですね。
今後の進め方について下記整理しました。

１）現状
　6月末で会社側の経営状況悪化で、更新意思はあったが、派遣を契約満了という形で退社。
失業保険を受給しながら、就職活動をしていく予定だった。

２）就職についての不安や問題点
　年齢も年齢なので、長く勤務できる所へ就職できたらと考えているが、不況や時期的な事もあり難しい状況であることも実感。

３）判断基準
　１）働く事の喜びや充実感は大切。働き続ける事が次の仕事を呼び込む事もあると思います。
　２）今回の案件について給与はどの程度満足できるものでしょうか。
　３）長く勤務できる可能性の会社は出てくると思います。今まで一番長い勤務歴は何年位？
　４）ご自分の強みや長い経験はどんな分野ですか。
　５）ハローワークで技術や知識のレベルアップを図れる講習会等は有りますか。
　　　常に自分の能力を高める事が重要ですが、この点は既に実行されているかも知れません。
　６）お人柄については職場の人間関係に気配りをされる感じを受けます。

４）結論
　　cielo様におかれましては特に自己啓発の研修を受ける計画がないようでしたら、
　まづは現場に復活されることをお勧めします。
　その上で、新たな就職探しの準備を進められては如何でしょうか。