tengg28さん、こんにちは。
弁護士の水嶋一途です。

管理費等を滞納している物件について所有権を取得した場合、所有権を取得した者（特定承継人といいます）は、建物の区分所有等に関する法律第８条により、管理組合に対して滞納管理費等を支払う義務があります。
もっとも、元の所有者と特定承継人との関係では、特定承継人の管理組合に対する滞納管理費等の支払い義務は二次的、補完的なものに過ぎないと考えられており、本来は元の所有者がこれを全部負担すべき義務があります。
したがって、tengg28さんが滞納管理費等を管理組合に弁済した場合には、その全額について元の所有者に求償（請求）することができます。

元の所有者については相続が発生し、１０人の相続人が居られるとのことのようですが、
管理費等の滞納が始まった時点と相続の発生時の前後関係により、誰にどの程度請求できるかが変わってきます。
ご質問内容からはこのあたりの事情がはっきりしませんが、元の所有者（相続人）に請求することは十分可能です。
具体的な回収可能性については、より詳しい事情を伺わないと何とも申せませんが、tengg28さんが負担した滞納管理費等の金額次第では、弁護士に依頼するなどコストをかけても回収する価値はあるかと思います。
一度、専門家である弁護士にご相談されてみては如何でしょうか（もちろん弊事務所でもご相談を承ります）。

少しでもご参考になれば幸いです。

一途総合法律事務所　http://www.ichizulaw.com/