niwatoriさん、こんにちは。お父様が経営されている休業中の有限会社を廃業したいというご相談ですね。お父様の会社の業種業態がわかりませんので、業種は特定せず、一般論として回答させて頂きます。

１．廃業の手続きについて
まず、標準的な廃業の手続きについてご説明致します。2006年の会社法施行に伴い有限会社制度が廃止され、お父様の会社も含め既存の有限会社は「特例有限会社」として存続しておりますが、特例有限会社の登記に関する廃業の手続きは株式会社と同じ手続きとなり、手続きとして、「解散」と、「清算」が必要です。

解散手続きは、最初に、取引先との関係などを考慮して営業終了日を決め、営業を終了させます。お父様の会社は休業中ですので、既に実質的な営業は終了していると考えられます。
そして、株主総会で解散決議を行い、承認されて解散となります。お父様の会社の場合、お父様が一人で経営されていますので、お父様の一存で解散を決めることができます。また、解散決議と共に清算に関する業務を行う清算人を選出しますが、基本的には社長のお父様が清算人になることとなります。
解散後、会社は清算の目的のみで存在する清算会社となります。そして解散日から2週間以内に法務局で解散登記を行います。

次に清算手続きですが、まず官報で公告を行います。これと併せて、資産と負債の整理をしていきます。清算とは会社そのものをなくす作業なので、不動産や車など、会社名義のありとあらゆるものを解約または名義変更する必要があります。
全て清算したのちに財産が余ればそれを株主に分配し、最後に清算結了の登記を行います。「解散」だけでなく「清算」まで完了することにより、法律上、会社をたたむ（終わらせる）ことができます。
解散登記から清算結了の登記までの手続きは、通常2か月半以上かかります。

登記に関する廃業の手続きと併せて、税務関係の手続きとして、最低2回の確定申告が必要です。まず、解散後2か月以内に解散確定申告を行います。2回目の確定申告は、資産と負債の整理を終え、残余予算が確定した翌日から一か月以内に行う清算確定申告です。清算作業が1年を超える場合には、前述の２つの確定申告の他に、清算事業年度の確定申告が必要です。
また、保険に関わる手続きとして、雇用保険についての適用事業所廃止届、社会保険についての適用事業所全喪届、労働保険についての還付請求書の手続き等が必要です。

以上の通り、廃業の手続きは会社設立時の手続きよりも煩雑です。すべての手続きを社長1人で行うのは難しく、専門家に依頼するのが一般的です。niwatoriさんにおかれても、登記手続きは司法書士、税務関係は税理士に依頼するのが良いでしょう。まず、商工会議所の相談窓口などにご相談するのが良いかもしれません。

廃業手続きを行って廃業を完了させるまでには費用が発生します。一般的な必要費用は、登記や法手続きの費用、税理士や司法書士への代行報酬、店舗や工場の原状復帰費用があります。
登記や法手続きの費用は、官報公告の費用が3万3000円、解散登記の費用が3万円、清算人の選任登記の費用が9千円、清算結了の登記の費用が2千円であり、これらの費用は法人で廃業手続きを行う場合には必ず必要な費用です。
次に、税理士や司法書士への代行報酬ですが、廃業の手続きを代行してもらうための報酬の目安はその内容によりますが、概ね25万円から40万円程度と言われています。代行を頼む場合は、登記や法手続きの費用が含まれているのか注意しなければなりません。

なお、廃業にあたり、業種によっては、廃業に必要な手続きが増える場合があります。例えば、あん摩マッサージ指圧・鍼・灸院、接骨院・整骨院、建設業、旅館・ホテルなど旅館業、宅建業（宅地建物取引業者）の業種を廃業する場合には特別な手続きが必要となりますので注意してください。

２．休業届について
将来、事業を再開しようと思っている人は、休業届を出して休業中であっても、税務手続きとして確定申告書に「休業中」と記載し、申告所得ゼロで提出する必要がありますが、お父様の会社の場合、完全に廃業したいとのことですので、確定申告をしなくても基本的に問題はないと考えます。
但し、事業が止まっていても会社は存続していますので、休業中であっても、法人として会社がある以上、会社法の定める役員が任期満了になった場合、それに伴う改選や重任は登記をしなければなりません。辞任や解任も同様です。休業中だからといって、何年も登記せず放っておくと過料を科されたりするリスクもあります。
経営者のお父様はご高齢ですので、いずれ廃業するのであれば、お元気のうちに廃業手続きをされることをお勧めします。

３．まとめ
廃業をする場合は、登記上の廃業手続きとして解散と清算、及び税務上の手続きとして確定申告を行う必要があり、保険に関わる手続きも必要です。スムーズに進めても2か月半以上かかり、登記・法手続の費用や代行報酬、現状復帰費用など、さまざまな費用も発生します。司法書士、税理士に早めに相談し、しっかり準備してから廃業手続きを行ってください。

niwatoriさんの、今後のご発展を願っております。

[参考文献]
失敗しない廃業・事業承継のしかた事典（西東社）
自分の会社を廃業する手続のすべて（ぱる出版）

[参考情報]
法務局　特例有限会社の解散・清算結了
http://houmukyoku.moj.go.jp/homu/houjin4.html

北海道地方法務局
http://houmukyoku.moj.go.jp/homu/static/hokkaido.html

札幌司法書士会 法律相談センター
http://www.sihosyosi.or.jp/place/

北海道税理士会
http://www.do-zeirishikai.or.jp/

札幌商工会議所
https://www.sapporo-cci.or.jp/web/manage/details/post-7.html