ca8118さん、こんにちは

従業員が私傷病により休職した場合、雇用はどのようになるかという御質問ですね。
ca8118さんの会社には「就業規則」がないようにも察せられますが、ここではある場合と無い場合それぞれご説明します。

１、「就業規則」がある場合
一般的に就業規則では、従業員が病気で会社を休まざるを得なくなった場合などに備え「休職期間」を明記しています。
定められた一定期間の休職期間満了日までに復職（病気になる前とほぼ同程度の労務提供ができる状態）できない場合は
解雇事由になります。
発症から10日程度では、一般的には休職期間内と思われますので、この時点での退職勧告は無効です。

２、「就業規則」が無い場合
病状経過については次のような二つの場合が想定できます。
a.回復が著しく数週間の入院でほぼ元通りに回復し仕事に復帰した。
b.病状が重く数週間以上の入院加療が必要になり職場復帰の目途が立たない。
aの事例になるか、bの事例になるかは数週間程度の経過が必要です。発症から１０日程度しか経過していない時点では判断できるはずがありません。退職勧告は無効です。

上記１、２をまとめますと次のような結論になります。
雇用継続」あるいは「解雇」の判断するためには『一定期間の加療後に、会社の業務ができる程度に回復しているかどうか』が重要な判断基準となります。
今回の場合、この判断基準には至っていませんので現時点での退職勧告は無効です。

cap8118さんがお考えのように今やるべきことは有給休暇を消化し、次に「傷病手当」を請求して雇用を維持させることです。
従業員が病気になり働けなくなったら即解雇するようなことは認められません。

現時点では該当の従業員さんには治療に専念していただき、一定期間の休職後に会社と相談することをお勧めします。