木造住宅における床の木部の腐食は、放置しておくと、床が抜ける事故につながる場合もありますから、気がついてから2年が経過し放置していたとしても、2月に連絡されたことは、事故が起きる前で良かったと思われます。

また、コロナ禍であるため、2月に連絡をし、訪問が8月の対応については、やむを得ないところがあるかもしれませんので、詳細がわかりませんから何とも申し上げにくいのですが、

タイトルに記載の通り、老朽化に起因する修繕は貸主負担が一般的です。
そしてその修繕費用は、保険を利用することが多いのですが、貸主は保険加入していないのでしょうか？

賃貸管理をする管理会社は、大家さんが保険加入しているかどうかを借主に事前に告知する義務はないので、このようなケースが発生した場合は、ご自身が加入している保険会社に『自身への負担割合分について保険対応出来るか』を相談してみるのもひとつの方法です。顧客としてこういうケースへの対応は可能か？を質疑することは出来るはずです。

黒ずんでいることを見つけた2年前に言ってくれたら被害はもっと小さかったはず、と大家さんは考えているようですが、専門家ではない貴殿にしてみたら、それほどの問題とは知らなかったわけですから、専門業者に見てもらって、水回り以外の床も腐食していると判断されたのであれば、まずやるべきことは、現在進行形で漏水が続いているのであれば、その改善、ということになり、費用負担を承諾しないと修繕に着手されない、というのはおかしな話です。
お互いの為に、根本原因である箇所の処置は早急になされるべきです。

世の中は理不尽なことも多く、床の工事を行うのであれば、貴殿の荷物を一時他所に預ける必要性が生じたり、床を剥がして配管をし直す、などの場合は寝泊まりが難しいケースもあるでしょうから、仮住まいを探す必要も。
保険対応の場合はそれらもカバーされますが、保険に加入していない場合は個人対応となり、厄介です。

賃貸借契約には更新があり、更新の際に不具合を伝えて改善してもらうのが理想的です。
（更新料の支払い時期に不動産会社に伝えたのが2月ということなのでしょうか？）
あくまでも推測での判断となりますが、それから半年漏れ続け、腐食も進行していることを考えると、水圧テストなどで漏水の形態を把握し、隠蔽箇所なのか、見える部分の改善で漏れは止められるのか？の把握が最優先です。

建築や不動産について素人である借主が2年間傷だと思っていたとしても、仕方がないでしょう。しかしのちに腐食かもと思い連絡したわけですから、その半年後の調査で大掛かりな工事が必要となり、その費用を借主に一部費用負担を求めるケースの場合、
負担割合を決めるのは、不動産会社でもなく、大家さんでもなく、貴殿でもなく、「インスペクターや家屋調査士」など、その道のプロに依頼することが望ましいでしょう。

売買契約の場合は、購入前に建物調査を行うケースが増えています。賃貸借契約の契約中に利用するのはイレギュラーかもしれませんが、当事者同士で決めるより、賢明ではないでしょうか。

調査結果をご自身が把握し、その上で別途リフォーム会社などに見積もり依頼をし、どの程度の改修費用なのかを具体的に知り、床を剥がす必要がなければ移動することもありませんから、大規模な工事は錯誤だったと言うことになる場合もあるでしょう。

かなりの手間ではありますが、今回のご質問からすると、セカンドオピニオン的に実態を把握した上で対応しないと、理不尽な思いが解消されない可能性があります。

借りている『他人に所有権のある住まい』の場合、あまり強く出ると引っ越さなければならないケースに発展することも。

貸す側の心理も思考し、なぜ費用負担を強いられているのか、その具体的な理由を把握できるよう、不動産会社に説明を解るようにしてもらうことが大切ではないでしょうか。




参照記事
https://owners.sumaity.com/cat_management/press_622/
https://www.mlit.go.jp/common/001219900.pdf