円満退職について

39歳主婦です。今年4月主人がリストラで会社を辞めたことを機にパートの仕事を探しました。4歳の子供を幼稚園から保育園に変え 雇用の極端に少ないこの時期に必死に見つけた派遣の仕事に週5日、6月から就きました。ただ通勤に時間がかかること 慣れない立ち仕事であること 生活の不安から来るうつ病でどうしても続けていく自信がなくなり 転職を考え始めました。就職さえままならないのにパートとはいえ転職も厳しいと思っていましたが 意外にも新しい仕事が内定しました。通勤も半分くらいで勤務日数も1週間少ないので当然収入は減りますが 自分に無理をすると長くつづけていけないと実感し次の仕事に懸ける気持ちでいます。しかし3週間前に退職の希望を派遣会社および上司に伝えたものの なかなか辞めさせてもらえません。引き止めていただけるのは心からありがたいと思う上に勤務条件を変えてもいいと言われすでに転職先が内定していることを言い出しにくい状況です。当初の退職理由は通勤が大変なため と期限を提示しなかったこともよくないのですが あと1ヶ月8月末日できっぱりと退職するには どう動くべきでしょうか。ずるい手と自分でも思うのですが 最後は体調不良を理由に心療内科へ診断書を書いてもらうしかないのかもしれないと思い悩むところです。実際 うつ状態は薬の服用で改善されつつありますが通院は長く続くと覚悟しています。
後任が見つからないことを理由にこのまま説得すれば踏みとどまると会社側は判断しているようですが 退職の意は固いため どう申し出れば私の意志と退職手続きがスムーズに進むかご指導下さい。