申請・経費計上は手続等に沿って正しく行いましょう。

カズクンさん、こんにちは。
個人事業主登録や経費計上等に関する質問ですね。
以下、ご質問に順番にお答えします。

1. 商品や荷物の発送等はご友人のお宅のあるB区にて行いますが、各種申請はご自宅のあるA区で行えばよいのか。
自宅のあるA区で結構です。個人事業主（従業員がいないと想定）が開業する場合、主に（１）「個人事業の開業・廃業等届出書」（開業日から1か月以内）と青色申告特別控除が受けられる（２）「青色申告承認申請書」（開業日から２か月以内、1/1～1/15日の間は3/15日まで）を納税地を所管する税務署に提出します。
　（国税庁ＨＰ：個人事業の開業届出・廃業届出等手続および所得税の青色申告承認申請手続
https://www.nta.go.jp/taxes/tetsuzuki/shinsei/annai/shinkoku/annai/04.htm
https://www.nta.go.jp/taxes/tetsuzuki/shinsei/annai/shinkoku/annai/09.htm）。
個人事業主の場合、納税地とは「イ.国内に住所を有する者はその住所地」となっており、別に事業所や店舗を借りたとしても、基本は事業主の自宅の住所管轄の税務署が開業届等の提出先になります。
（国税庁ＨＰ：納税地https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/shohi/6617.htm）
因みに住所を管轄している税務署の情報は、国税庁のＨＰ上の「全国の税務署検索」に自宅の郵便番号等を入力すると表示されます。なお仮に事業所を納税地としたい場合には「所得税・消費税の納税地の変更に関する届出書」を税務署へ提出します。
加えて地方税との関連で都内で開業した場合、
（３）「個人事業開始等申告書」により事業の開始から15日以内に所管の都税事務所へ申告します。
（都庁総合ＨＰ：東京都主税局の個人事業税に関する手続http://www.tax.metro.tokyo.jp/scene/index05.html#L1）。
なお、輸入ビジネスを始める場合、資格を持っていないと輸入できない商品（医薬品、化粧品、アルコール等）がありますので注意しましょう。

2. ご友人宅でのPCや光熱費・家賃などを按分しての経費計上は可能か。
事業に関係する支出と事業に関係のない支出とを按分することが出来れば経費計上は可能です。事業に使用している部分が50%以上か、それ以下でも明確に区分が出来れば、必要経費として扱えることになります。
（国税庁ＨＰ：家事関連費https://www.nta.go.jp/law/tsutatsu/kihon/shotoku/07/01.htm）
50%以下であっても、その必要である部分を明らかに区分することが出来る場合には、当該必要である部分に相当する金額を必要経費に算出して差し支えないことになっています。
因みに経費として計上出来る科目としては、家賃、光熱費、ＰＣ、車の減価償却費・ガソリン代等があります。例えば家賃は仕事で使っている床面積や使用時間、光熱費は使用時間やコンセントの数、ＰＣ（インターネット料金）・電話代は使用回数や使用時間、車は走行距離や使用日数等によって按分します。
按分比率の計算方法には決まりがないため、いずれにしても明確な説明が出来る按分比率にします。

3. 海外へ買い付けに行かれた際の2回の海外渡航費用・現地ホテル代は、全額経費として認められるか。
海外渡航に際して支出する費用は、その海外渡航が当該事業の遂行上直接必要であると認められる場合に限り、その海外渡航のための交通機関の利用、宿泊等の費用に充てられたと認められる部分の金額を必要経費に算入することができます。
ただし、その海外渡航が当該事業の遂行上直接必要であると認められるものであることが必要で、高級ホテルに宿泊するなど高額である場合は、必要経費とは認められません。
また、海外渡航が当該事業の遂行上直接必要なものであるかどうかの判定は、その旅行の目的、旅行先、旅行経路、旅行期間等を総合的に勘案して実質的に判定されます。観光目的の旅行、ツアー旅行などは、原則として遂行上直接必要な海外渡航とは認められません。
なお、事業の遂行上直接必要と認められる旅行と認められない旅行とを併せて行ったものであるときは、その海外渡航に際して支出した費用又は支給した旅費を事業の遂行上直接必要と認められる旅行の期間と認められない旅行の期間との比率などによって按分し、事業の遂行上直接必要と認められる旅行に係る部分の金額は、旅費として必要経費に算入することができます。
国税庁　法令解釈通達　海外渡航費
http://www.nta.go.jp/law/tsutatsu/kihon/shotoku/05/08.htm

4. 現地でオリジナル商品を作ってもらったデザイナーさんを接待した際の飲食代金は海外でも経費計上可能か。
所得税法第37条に「必要経費に算入すべき金額は、その年における販売費、一般管理費その他これらの所得を生ずべき業務について生じた費用（償却費以外の費用でその年において債務の確定しないものを除く。）の額とする。」（部分抜粋）とあります。つまり、事業を行ううえで必要なものであれば、海外での飲食であっても接待交際費として必要経費として計上することができます。
また、個人事業主は、接待交際費の上限が設けられていない代わりに、事業に関係ないような接待交際費は、認められません。例えば、従業員ではない家族との出費については、個人的な費用として経費には認められません。交際費について個人事業主が注意すべきことは、個人的支出なのか事業的支出なのかが問題になりやすいということです。税務署が個人事業主の交際費について目を光らせているのは、個人的な飲食費などが経費計上されていないかを厳しく取り締まるためです。したがって、交際費を計上する際は「誰と飲食をしたのか」を明確に記録し、正しい経理処理を行うことが必要です。

個人事業主登録に関して必要な手続きおよび計上できる経費についての回答は以上です。
上記回答を参考にして頂き、少しでも各種手続きがスムーズになれば幸いです。