バーチャルオフィスを借りればよいとは思いますが…

「女性なので、自宅の住所や電話番号を、インターネットのような誰が見るか分からないところに、公開したくない」
ということでしたら、バーチャルオフィスをお借りになればいいと思います。

バーチャルオフィスの中には、住所だけを貸してくれるところ(郵便物はそこへ届き、転送してもらうことになります)から、電話代行や秘書サービスがついているところ、短時間のデスク・会議室使用ができるところまであります。
ニーズに合わせて検討してください。

気になるのはもう1つの「勤務先に副業を知られたくない」という理由です。

これが、単なる心理的なものだったら、親御さんや兄弟の名義で、バーチャルオフィスを借り、「特定商取引に関する法律に基づく表示」には、オフィスの名義人のお名前を表示すればよいと思います。

しかし、勤務先の就業規則に「副業禁止」が規定されているからということであれば、「ばれたらどうするのか?」を、よく考えた方がよいと思います。

副業のために、本業を失うことになってしまったら、どうなりますか?

「就業規則」を調べて、そういった規定がないか、確認してください。
副業禁止規定がなければ、あるいは就業規則自体がなく(従業員9人以下の会社は作らなくてよいことになっています)、他に副業に関する内規がないのであれば、問題はありません。

副業禁止規定があるが、それでも副業をやりたいということであれば、経営者に、事情と気持ちをよく説明して、掛け合ってみることをおすすめします。
規則でガチガチの会社なら望み薄でしょうが、そうではない会社なら、特例として認めてもらえるかもしれませんよ。