以下の通りお答えします

はじめまして。早速回答させて頂きます。

１）父の税金の増加について

給与収入１０３万円の場合、給与所得控除６５万円を差し引いた３８万円が所得となります。

「所得」－聞きなれない言葉でしょうが、税法ではこの言葉で様々な規定があります。
例えば扶養控除。所得３８万を超えるとこの控除を受けることができません。
１０３万円を超えると、金額に差はありませんので、みっぽーさんのお父さんは、現時点で扶養控除は受けられないことが確定しています。

２）健康保険について

年間の給与収入が１３０万円を超えると、他の人の扶養に入ることはできません。自分で国民健康保険に加入することになります。

あくまで、保険料は稼いだ収入の一部ですので、１３０万円を超えてしまったら、稼げるだけ稼いだ方が、手取りは多くなります。

しかし、１３０万円を若干オーバーしそうなだけの場合は、セーブしてお父さんの扶養に入ったままの方が得なケースもあります。

３）11月は130万は超えないようにシフトを組みますが、例えば11月に100000働いた場合（年間120万ほど）どの程度父の税金納入額が増えるのでしょうか？

ＡＮＳ．　お父さんの税金に関係あるのは、１０３万を超えるかどうかだけ。ですから、影響はありません。

４）また、私が納める税金は「国民年金、住民税、所得税」でしょうか？

ＡＮＳ．　その通りです。
所得税は恐らく還付になると思われます。１月になったら税務署で確定申告の手続きを行ってください。その際、いままでの源泉徴収票がすべて必要になりますので、きちんと揃えておいてください。また、自分名義の口座に振り込まれますので、口座番号などを控えていってください。

以上です。