退職は行えますが、もう一度話し合ってみてはいかがでしょうか

ＫＡＺＵＴＯさん、ご相談ありがとうございます。
ご質問の趣旨は、社長に次ぐ責任者を務めている会社から別の会社へ転職した場合に、管理職としてどの程度の責任があるのかが知りたいということですね。
まずは、ＫＡＺＵＴＯさんが別の会社へ転職した場合に、どのような権利と責任が考えられるのかを整理します。

１． 会社を退職する権利について
ＫＡＺＵＴＯさんは役員ではないとの事なので、「労働契約の期間の定めがない」正社員として勤務されているものとしてご回答します。
基本的に、期間の定めのない雇用契約の場合、退職するタイミングは労働者（つまりＫＡＺＵＴＯさん）が主体的に決めて申し出ても問題ありません。
就業規則（「就業規定」ではなく「就業規則」と解釈します）が無い場合であっても、民法第627条第１項の規定により、退職の申出をした日から起算して原則として14日を経過したとき退職することができます。
民法第628条の規定により、有期雇用の期間内であってもやむを得ない事由がある場合は、労働者は契約の即時解除（退職）することができると定められていますが、今回はやむを得ない事由にはあたらないと考えられることから、即時退職は控えた方がよろしいかと思われます。

２．会社を退職する場合の責任について
ＫＡＺＵＴＯさんは役員ではないとはいえ、社長に次ぐ責任者という重要な立場であることから、ご自身の退職にともなう従業員のモチベーション低下に対する配慮し円満に退社することが求められます。
また、雇用契約上の信義則としても、退職するまでの就業期間内に後任者に対して業務の引き継ぎをすることは、労働者が当然に会社に対して負う責任であると考えられます。
そのためには、退職時期が繁忙期に当たらないように配慮すること、十分な引継ぎを実施し後任者をしっかり決めることが求められます。
引継ぎにあたっては、可能な限り、誰が見ても分かるように、自分の業務に関して引き継ぎ書やマニュアル、担当顧客のリストを作成しておくことをご推奨します。
また、ＫＡＺＵＴＯさんは主に営業を担当されているとの事なので、お客様には、挨拶状や挨拶メールの他、主要顧客には直接会って退職する旨をお伝えすることも重要です。
次に、退職と同時に有給休暇を消化する場合の留意点について説明します。
業務の引き継ぎがなされないことは、事業の正常な運営を妨げることになりえます。もし会社がそのように判断した場合、他の時期に有給休暇取得時期の変更を要求される可能性があります。
（会社には労働者の有給休暇取得が事業の正常な運営を妨げる場合に、会社は他の時季に有給休暇取得時期を変更できる権利があります。これを、「時季変更権」とよびます。）

以上のことから、業務の引継ぎを誠実に行い、ＫＡＺＵＴＯさんが退職された後も事業が円滑に行えることに配慮し、円満退社することが重要になります。

ＫＡＺＵＴＯさんは番頭という言葉をご存じでしょうか。社長に次ぐ会社のナンバー２を番頭といいます。
番頭の役割は、社長の補佐役として、社長の弱点を補い、非があれば指摘し、意思決定を補完し、トップの負担を軽減する役割と機能を果たすことです。
社長の意向で物事が決まるということは、意思決定のスピードが速いという強みにつながる一方で、やり方を間違えると社員の信頼を失くしてしまうリスクがあるといえます。
そのような観点から、今の会社においては番頭の存在が特に重要であり、優れた番頭に恵まれることでリスクを回避し、トップはその力を存分に発揮することができます。
ＫＡＺＵＴＯさんはこれまで会社運営に対し改善策を提案するなど、まさに番頭として会社にとって重要な役割を担ってこられたのではと思います。
今の会社にとって、優秀な番頭を失うことは大きな損失になると考えられます。
その観点から、転職を思いとどまる余地があるようであれば、このまま改善されない場合は退職する意向であることも含めて、もう一度社長と話し合いを行い、改善の兆しがみられない場合に転職をご検討いただいていいかもしれません。

（参考）
〇管理職だけど会社を辞めたい。退職する際に押さえたい7つのポイント
https://2ndgong.jp/003-administrative-post-resignation/

〇【民法改正】準備は大丈夫？月給制正社員の退職ルールが変更されます
https://www.ieyasu.co/media/new_retirerule/

〇事業承継と番頭について
https://shuchi.php.co.jp/article/999#:~:text=%E7%95%AA%E9%A0%AD%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%8C%E4%B8%BB%E3%80%8D%E3%81%A7,%E3%81%AE%E4%B8%8A%E4%B8%8B%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%A7%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%81%84%E3%80%82