ご主人の会社の健保組合にご確認ください

ティラミスさん、はじめまして。ご質問ありがとうございます。
社会保険労務士の古井佐代子です。

ご質問いただいている「扶養」が、税法上なのか社会保険上なのかの判断がつきませんでしたので、両方お答えさせていただきます。
この2つの違いについては下記コラムでご確認ください。
http://profile.allabout.co.jp/pf/s-furui/column/detail/9797

まず、今年は税法上の扶養には入れません。
社会保険上の扶養については、上のコラムにも書いてあるとおり「将来の収入の見込み」で判断しますし、ティラミスさんの場合は出産予定ということもありますので入れると思います。ただし、取り扱いは各健康保険組合ごとに微妙に異なりますので、詳細はご確認ください。

出産育児一時金の金額については、健康保険、国民健康保険とも最低保障額は35万円ですが、健康保険組合では付加給付という上乗せがあったり、国民健康保険でも自治体により上乗せがあったりしますので、ご確認ください。

現在は正社員なんですよね？なのになぜ厚生年金と健康保険の適用になっていなかったのでしょうか…
それはさておき、社会保険上の扶養に入るタイミングは正社員でなくなったときでＯＫです。

パート勤務の間は雇用保険は加入したまま、ということは週20時間以上勤務されますか？
もしそうでないのであれば、雇用保険も正社員でなくなるタイミングで喪失手続きをしてもらい、離職票を出してもらってください。
その30日後から1ヶ月以内に（6月末で正社員でなくなったのであれば7/31から1ヶ月以内に）、雇用保険の受給延長の手続きをされた方がよろしいと思います。