ななみんさん　はじめまして
税理士の柴田博壽と申します。
ご質問の趣旨にしたがってお答えします。
先ず、健康保険については、親御さんの被扶養者になるための収入制限の目安が年間130万円ですね。したがって、所得制限を超え、被扶養者にはなれなくなったということになれば、ご自身で健康保険に加入するということになります。
親御さんの勤務先を通じて健保組合からそのような通知がされているのでしょうか。
勤務先を通じ、被扶養者の情報を入手しない限り、健保組合では、被扶養者の該当可否について即座に、判断できないかと思われます。
親御さんは、年末調整時等、扶養親族の収入等状況を勤務先に申告することになります。大概、勤務先の給与担当は、社会保険の業務を兼ねているでしょうから、そのタイミングで、社会保険の被扶養者について再判定するものと思料されます。
130万円に達した時点で自動的に被扶養者から外れるというものではなく、今、独断で判断せずに、勤務先を通じて健保組合に確認するのが先決です。
場合によっては、明年より、親御さんの被扶養者になれないこともあり得ますが、4月以降就職先においては、必ず健保組合に加入されることですから、それほどのご心配は無用かと思われますね。
最後に平成30年度の住民税の件についてです。
平成29年中の所得に対し、30年度の住民税を来年5月より納付することになります。
所得税の基礎控除は38万円ですが、住民税は33万円です。給与所得控除65万円プラスこの33万円の基礎控除の計98万円を超えた金額が課税される金額です。
仮に給与収入金額が１３１万円の場合、131万円－98万円の算式で求められる33万円が課税所得です。30年度の住民税額は、均等割額5,000円＋所得の10%分33,000円の計約38,000円となるでしょう。これを数回に分けて納付することになり「普通徴収」と言います。
来春4月から新社会人となるのですが、30年度分住民税について、勤務先の給与天引き（「特別徴収」と言います。）とはなりませんのでご注意が必要です。
ご参考になれば幸です。