もぐきちさん、こんにちは。音楽家の成澤利幸を申します。
私の経験の中から何かヒントがあれば、と思い回答させていただきました。
　息子さんは「何かやりたいことを探している」（よくいう、自分探し）や、
「やりたいことがあるけれど、そのためにどんな準備をしたらいいかを探している」
という状態にあるのではないでしょうか。
そして、これらのことを「うまく言葉として説明ができない」状態にあると思うのです。
そのように考えている（悩んでいる）最中に進路指導の先生の一言で自暴自棄のような
状態になってしまったのではないでしょうか。
（「名前を書けば誰でも～　」という発言はハラスメントであり、
このような発言を行う教職員については進路指導の仕事には不適切だと思います。）

　学生の頃、熱心に音楽を勉強した人が音楽を一切辞めて別の進路に進んで活躍したり、
中学生の頃に楽器をやっていて、卒業してからは一切やっていなかったのですが
２０代後半になっていきなり音楽の道に進んだ生徒もいます。
きっと彼ら彼女らの中で何かのきっかけがあり考えた末の進路だったと思います。
生きている中でいろいろあったのでしょうね。

　もぐきちさんの息子さんが「将来、これがしたいんだ。」と自ら話せるまで待つのはどうでしょうか。
将来のことを　『思う・考える』　が　『語れる・話せる・文字として表現できる』　に変わり、
『語れる・話せる』　が　『行動する・勉強する』　に変わる、
このように変化できることが　　『進路』　　ということです。人生の中でも大きな成長の場ですね。
また「思う」から「語れる」ようになるまでは時間がかかることが多いです。
とはいえ、もぐきちさんもご自身の年齢のこともあってよけいに心配されているのだと思います。
なので、期限を区切るというのはどうでしょうか。「２０歳になるまで待つ」というように。

双子さんの子育ては大変だったと思います。
これからは２つの進路を見ること、２つの道を見ることになると思います。
２つの道を見られるなんてすてきじゃありませんか。
それぞれの道の景色を見ることができるなんてそうそうあることではありません。
私が教え子を応援するように、もぐきちさんのご家族が実りのある人生を送れることを
応援したいと思います。がんばって下さい。