マンション管理士です。

上述の弁護士の先生がおっしゃるとおり、管理会社は区分所有者の集まりである管理組合と委託契約をしており、一般的な契約の範囲では管理会社が独断で費用の発生する修繕を行うことはできません。
（管理会社は管理組合にお伺いをたてて、許可されてから動きます。）

とはいえ管理組合も日常管理を管理会社にお任せしていて、主体的に動こうとする管理組合が少ないのも現状です。
（マンションにお住まいの方々は自分の仕事の方が忙しい等の理由で管理組合役員になっても真剣に取り組まない傾向があります。）

恐らくですが、管理会社は契約対象外との認識があり、積極的に取り組む意思に欠けており、また管理組合も管理会社から報告は受けたが現状認識を積極的に捉えようとしていないがために結果的に対処に時間がかかっているのだと思われます。

被害状況を写真等で記録して、至急改善されるよう要請文書を添付して、管理組合理事長宛に送付するのが専決でしょう。
とはいっても誰が理事長なのかがわからないと思いますので、管理会社に連絡して理事長名を確認するのも一つの手ですが、管理会社は個人情報等の理由で理事長名を教えたがらない傾向がありますので、マンションで出向いて管理員等に事情を説明して文書を理事長へ渡すようお願いしてみるのが一番現実的だと思います。（もちろん文書には期限を設けて回答頂くように記しておくことが大事です。また管理員の名刺をもらっておくのも大事です。）