受け入れ先は必ずあると思います。大きな作業フェイズは次の通りです。

Phase-1.「見積り」を取るた為の情報整理

乗換える以上、見積用に提示する資料はご自身で用意しなければなりません。
複数の会社から相見積を取る事がBestですので、その際には現状の書面化など
により同じ内容を説明できるよう心がけてください。
納品時に入手したものの中から、社外に出しても問題無いもの全てをピックアップ
するのも良いと思います。

また「乗換え理由」を含め「何をして欲しいのか(目的)」が最重要ですので
お忘れなくお願いします。

例えば「コストダウン」が目的でしたら、
一般的なレンタルサーバであれば「サーバ管理・ドメイン管理」などは
ほぼ何もしなくていい部分ですので、これを機に社内で管理されるのもいいと思います
(管理と言っても年1度の更新や月1度の支払などで手間はありません)。
「メール管理」も手順書さえ読めば誰でもできるはずです。
「保守」も本当に必要でしょうか?年間にどれだけの投資をし、どれだけの
作業があったでしょうか?
保守は保険と違い価格と内容の交渉は自由ですので、新たに依頼する際は
今までの保守作業頻度などを整理しお互いに最適な金額や条件を決定
するよう心がけて下さい。

Phase-2.相見積り・新規委託先決定

Phase-3.引継ぎ
・システム情報(仕様書や環境情報)の引継ぎ
・システム一式の引継ぎ
引継ぎのイメージは基本的にbnavicさんの会社が旧委託先と新委託先の間に
入り、細かい話しは新・旧委託先の担当者で直接連絡を取ってもらう(CCには
入れてもらうなど)方法がBestです。
「全て両者にお任せ」は旧委託先としても面白くありませんし(引継ぎ精度が
下がる要因)、引継ぎを機にシステムの裏事情も把握しておいた方が良いから
です。

引継ぎについてはシステム形態により作業ボリュームが大きく変わってきます。
引継ぎ作業自体にかなりの費用を要する場合もあります。
これについては追記します。