yachaikaさん、こんにちは。
居抜き物件の大家さんからの要求に対するご相談ですね。以下、ご質問の順にお答えします。

1、居抜き物件にある据え付けの洗面台、冷蔵庫などの修繕費はどちらが支払うべきでしょうか
据え付け設備の修繕費は、普通に使用していて損耗した場合と、賃借人（店舗を借りる側）が何らかの過ちで破損した場合とで支払い義務が変わってきます。

・普通に使用していて損耗した状態
契約条項に据え付け設備の修繕についての記述がなければ、それらの修繕費は通常は大家さんが支払うことになります。
しかし契約条項上で明確に”通常に使用して損耗した場合でも賃借人が修繕費を負担する”というような記述があり、さらに賃貸人（大家さん）からそういった説明があった場合は、賃借人が修繕費を負担することになります。
　
・賃借人（店舗を借りる側）が何らかの過ちで破損した場合
賃借人の経営で傷をつける、破損するなどといった場合には賃貸人側が修繕費を負担することになります。多くの場合はその修繕費は敷金から差し引かれることが多いです。

2、経営形態に不満があるので立ち退かせたいと言われていますが、契約条項に反することをしていなくても立ち退きに応じなくてはいけないのでしょうか
基本的に居抜き物件の契約条項や契約書で定めてない場合、経営形態への不満を理由に立ち退きに応じる場面はほとんどないでしょう。しかし、”経営形態の不満”の内容によるのですが、次のような立ち退きの要求に対して慎重な対処が必要となるパターンも考えられます。

・用途地域での制限、営業許可などの制限に触れている
現在の経営形態が居抜き物件を借りた当初の経営形態から変化した結果、用途地域内で許可されている経営可能な形態から外れてしまった、営業許可などの制限に触れてしまうようになった、というようなパターンが考えられます。
そのような経営形態に対する制限事項が原因で大家さんが立ち退きを求める事例もあります。
例えば経営形態が開業当初の状態から変化して、途中から酒類を扱うようになった、営業時間が0時を超えるようになった、といったことはないでしょうか?
その場合、居抜き物件の契約条項には外れていなくても、用途地域内で建築基準法の制限によって営業の制限を受けたり、食品営業許可に加えて「深夜酒類提供飲食店営業の届出」の提出が必要になる場合があります。
対策として、店舗の所在地の都道府県の環境関係の部署への問い合わせをしたり、自店舗の営業許可の有無について確認するなどしてみてください。

・騒音などで近隣に迷惑をかけている
店舗の騒音が原因になっているパターンです。
大家さん、あるいは近隣の住民の方が騒音を理由に立ち退きを求める事例も見受けられます。
店舗へのお客様の来店が活発になるなどの結果、以前より店舗の騒音が大きくなっていることなどはないでしょうか?
また、飲食店街の場合は騒音の規制はないと思われますが、多くの住宅地の場合は自治体で条例を設けて騒音を規制しています。
対策として、店舗の所在地の都道府県の環境関係の部署で確認してみてはいかがでしょうか？

3、経営形態に関して、大家さんの要望通りにしなくてはいけないのでしょうか
これも契約条項に特に定めてられていない場合は経営形態に制限を受けることはないでしょう。
しかし”大家さんからの経営形態に対するご要望を正しく理解し、正当な意見であれば受け止める”という姿勢も、地域に根付いたお店として発展させるために重要になるかと存じます。

まずは、自店舗の物件の契約条項を契約書で確認し、経営形態が用途地域や営業許可の制限に触れていないか、騒音などの不満が発生していないか、今一度ご確認してみてはいかがでしょうか?

yachaikaさんのお店のご発展を、心よりお祈りしております。

※ご参考
原状回復基礎知識 http://www.chinkan.jp/live/recovery/
深夜の営業等の制限
 https://www.kankyo.metro.tokyo.jp/air/noise_vibration/rules/night_business.html