待つしかありませんか？

あおいとりさん:
はじめまして。キャリアカウンセラーをしております、小松崎浩司と申します。
「派遣5年目になります。」と書かれておりながら、「正社員で『しか』勤務したことが無い」と書かれていらっしゃるので、今までどういった経緯で働いてこられたのか、今回上司の方、出向先(派遣先?)の方とどういった話になっていらっしゃるのかが文章から見えてこないので、整理させてもらえませんでしょうか?
※多分他の専門家も同様の心境だと思います。

現在あおいとりさんは、派遣会社と「正社員」としての契約を結ばれていて、特定労働者派遣として派遣先に送られているのでしょうか?
それとも、今在籍している会社には「正社員」としているものの、業務請負先に行って働いている、といった形態を採られているのでしょうか?

それによってもどこに在籍していたかも違いますし、これからの処遇も変わってきます。
労働契約を結んだときの契約書類はお持ちですか?もしお持ちだったらいいんですが、なかったとしても立場の弱いものの見方として、労働組合(ユニオン)があります。

あおいとりさんがお住まいの静岡県ですと、
連合静岡で無料相談も行っています。静岡、沼津、浜松ですが、遠ければフリーダイヤルでも相談に乗ってくれます。
http://www.rengo-shizuoka.jp/contact/index.html
是非一度問い合わせてみてください。
※本人が承諾するまでプライバシーは守られますのでご安心ください。

こんにちは、あおいとりさん。My人事の葉玉です。

あおいとりさんの背景や事情、現状が、今少し、漠とした感じなので、
的を得た答えにはならないかもしれませんが、方向性を考える上での
ポイント等について、私なりにアドバイスさせていただきます。

まず、派遣社員と契約社員の違いについて。

派遣社員は、あくまで期間と仕事内容に応じ、派遣会社に企業が依頼
し、人を派遣してもらうという形態なので、企業側の依頼内容をカバー
出来れば、人の入れ替えもあり得るという前提で考えれば、必ずしも
安定した雇用形態とは言えないでしょう。

かと言って、契約社員についても、安定した雇用とは言いかねます。

わかりやすい表現をすれば、派遣社員は、業者と契約し、契約社員は、
本人と契約する。但し、それぞれに雇用期間が決められている。という
感じです。

また、それぞれにおいて、雇用側の企業が気に入れば、継続も可能だし、
正社員登用の道もある、という意味では、実態としては、差がないよう
にも思えますが、世間的な印象としては、契約社員の方が、正社員に
準じる雇用形態という意識が強く、ローン等においても、あえて「社員」
という表記で通したとしても、違和感なく通ったりもします。
〔但し、契約記載については、ケースバイケースなので、ご注意を!〕

また、転職活動の進め方についてですが、派遣会社に、条件交渉と併せて、
より条件の良い他社を探してもらうように、要請する事も必要でしょうし、
ご自身で、別の派遣会社、人材会社に登録したり、ネットで調べたり、と
いった活動を、同時に行う事も可能だと思います。

転職活動を、最終的に成功させるのは、自分自身の努力の積み重ねだと
思います。結果としては、誰も責任を取ってはくれません。出来得れば、
そんな強さをもって、臨んでいただければと思います。

末筆ながら、あおいとりさんのご成功とご活躍を心よりお祈り申し上げ
ます。