官公庁の非常勤は１年以上勤務はできないのですか？

あずきさん、はじめまして。ご質問ありがとうございます。社会保険労務士の古井佐代子です。

適用されると思われる条文を記載しておきます。
公務員の非常勤職員の場合、雇用ではなく任用といいます。
非常勤職員の場合、国家公務員法、人事院規則によって、例外的に期限付任用が認められ 任期は1日、つまり日々雇用となっているケースもあるようですので、どのような雇用形態になるのか、雇用契約書があるのか(辞令交付のみの場合も多々あります)確認しておいてください。

国家公務員法第60条第1項(臨時的任用）
任命権者は、人事院規則の定めるところにより、緊急の場合、臨時の官職に関する場合又は任用候補者名簿がない場合には、人事院の承認を得て、６月を超えない任期で、臨時的任用を行うことができる。この場合において、その任用は、人事院規則の定めるところにより人事院の承認を得て、６月の期間で、これを更新することができるが、再度更新することはできない。

地方公務員法第22条（条件附採用及び臨時的任用）
臨時的任用又は非常勤職員の任用の場合を除き、職員の採用は、すべて条件附のものとし、その職員がその職において６月を勤務し、その間その職務を良好な成績で遂行したときに正式採用になるものとする。この場合において、人事委員会は、条件附採用の期間を１年に至るまで延長することができる。

契約が切れている期間については、国民年金・国民健康保険に加入する必要があります。