子犬の食糞 クレートトレーニングなど(長文で申し訳ありません)

こんにちは。
現在3ヶ月半過ぎのミニチュアシュナウザー(雄)を飼っています。
約1ヶ月半前に我が家にやって来ました。

もともと室内でフリーで飼うつもりはなかったので、最初からゲージに入れて飼い始めました。
最初は90×60のゲージにおトイレとベッドを入れましたが、あまりに狭そうなので 124×63のものに買い換えました。
その中に同じ様におトイレとベッドを入れて、夜間もそのベッドで寝ます。
ゲージがリビングにあるので夜10時頃に「おやすみ、ねんねだよ」と声かけしてバスタオルでゲージ側面を覆い、屋根にもプラ板の蓋をかぶせて暗くしています。

家に来て最初のオシッコもゲージ内のおトイレでしてくれウンチもおトイレでします。
が、ゲージから出して遊んでいる時はまだゲージやおトイレに自分で戻ることは出来ません。
おトイレしたそうなそぶりをしだしたら急いでゲージに戻しています。
普段は「ハウス」のコマンドで(おそらくご褒美のジャーキー目当てですが)ゲートに戻ることは出来ます。
食事は購入したペットショップが1日2回だった、ということでしたのでそのまま1回70gを1日2回あげています。
基本的におとなしい子であまり吠えず、遊んでいる時に甘噛みをしても私が「ダメ」と言えばやめます。

ただ、今本当に困っているのが食糞です。
誰かがその場にいれば食べずに、「ウンチでたよ！」的な目つきやワン！という声で教えてくれることもありますが、
ちょっと私がお手洗いに行っていたりすると、食べた後の残骸だけが残っています。
本人は「すみません…」という感じで申し訳なさそうな感じや甘える感じをします。

ここからが質問です。(前置きが長くて申し訳ありません)

食糞をなくすようにするには…
・食事の回数を3回にした方が良いのでしょうか
・食糞以外には特に困っていることはないのですが、預託訓練や教室も考えたほうが良いのでしょうか。
また訓練して貰えば食糞は治るのでしょうか。

それから今はゲージ内のベッドで寝ていますがクレートで寝かせたほうがいいのでしょうか。
その場合まだ朝までオシッコを我慢できないと思います。
生後5ヶ月くらいになるまではクレートのドアを開けっぱなしでおトイレに行けるようにして、朝まで我慢できるようになったらクレートのドアを閉めて寝かせる、というやり方でも良いのでしょうか。

よろしくお願いします。