家を駆け回りながら大便をします

まずは他の獣医さんに見てもらうことですね。
見立て違いもありますから。

文面を拝見すると、排便時に何かしらの痛みや違和感を感じている（または過去に感じた）ように思います。

猫は嫌なことが起きたらその行動を避けようとします。

排便時に痛みや違和感を感じた、そしてその痛みや違和感を感じた場所がトイレであればトイレに入ると痛い目や変な感覚に襲われるにかもとそこに入りたがらなくなります。

そして、排便すると痛い目や変な感覚に襲われると感じれば、排便を極力我慢するでしょう。
そして、我慢に我慢を重ねて我慢しきれなくなったとき、排便する結果になるわけですが、その時はひたすら痛みから逃げようとする。逃げ続ける行動が部屋の中をかけづり回ることかも知れません。

ちなみに、おしっこに関しては痛みは伴わないのでしょう。
ただおそるおそる入り、おしっこしたら飛び出すように（＝逃げるように）出てくると言うことは、トイレと嫌なことと結びつけている（トイレにいると痛い目に遭う）ことは、確実だとに思います。

もし排便時の痛みや違和感に襲われたのが１回きりの物であったり、単純にトイレに入ることが嫌になっただけなら、試しにトイレトレーと猫砂の形状を全く別のタイプに変えてみることです。そうであれば、そこでできるようになるはずです。

ただ排便はトイレには入らないようですから、その可能性は低いように感じます。やはり排便時の痛みか何かのように思います。

以上はあくまでも仮説ですので、
冒頭にも記しましたがとにかく、他の獣医さんに早急に診てもらことです。