ホームページ制作でのトラブルで損害賠償を伝えてこられました。

私は現在、フリーでホームページ案件の依頼を受けております。
インターネット上サイトで、今回依頼者より相談を受け、そのサイト上で契約を交わしました。
相談された案件内容は、
「サーバーは弊社にて準備させて頂きますので、某××（Z社で運用しているツール）のインストールから設定、プログラムの移行を全てお願いします。」
予算：3万円 納期：○月中旬まで 」です。

このツールはデータベース形式が2つ使用できるため、事前に形式が「MySQL」か「PostgreSQL(ポストグレス)」か知るために
こちら側が「データベースはMySQLですか？」と契約前に質問しました。
その質問に対しての回答が「A社のサーバとB社のサーバどちらかにしようかと考えてますが、どちらがいいですか？」
との問いかけでした。その2つのサーバともデータベースが「MySQL」のみしか対応していない事をその時点でこちら側が把握してたので、
現在で使われてるのは「MySQL」だと認識し、今まで私が使用した経験からB社が安定していると思ったので、B社のサーバをオススメしました。

結局、契約後に作業入りましたが、データベースが「MySQL」ではなく、「PostgreSQL(ポストグレス)」だったのですが、今後もおつきあいできるようにと、工数が大幅に増えますが作業進めました。
結局納期○月中旬、そして月末でも間に合わなかったのですが、Z社との契約延長したのと、新規サーバが「PostgreSQL(ポストグレス)」では運用できないのに契約してしまったので、
それらの損害分を支払要求をしてきました。期日までに支払いない場合は、簡易少額訴訟を司法書士通じて手続きとるとの事です。
月末、私が徹夜続けて納品を努力したために1日ほど寝込んだ為、電話など応答できず、その点もかなり指摘してきています。
・サイト上で契約の形式は業務委託契約と記載されている
・案件はオープン前のもので、いつオープンかは聞かされてなかった。
・納期は当初中旬という事だったが、想定外の事態で工数が増え、結果遅れた
・納期遅延時の損害支払いなどの有無を口頭、書面などでの契約はしていなかった
・既存のデータベース形式を依頼者も契約前に把握していない為、新規サーバも結果的に契約した
少額訴訟になれば私が敗訴なりますでしょうか？
どうぞよろしくお願いいたします。