隣家との境界について

昨年９月に新築した者です。
うちの左隣は市の公園、右隣は隣家があります。
隣家は昨年１２月に同じく新築し入居しています。

一冬越して、外構工事と一緒に隣家との境界の仕切を作る工事を、と思っています。
（高さ３０センチくらいのコンクリート基礎です。塀やフェンスをやる予定は今のところありません）

うちでは長男が障害児なので、子供の代やその先のことを考えて折半ではなく自分達の敷地側に境界の仕切をやろうと夫と話していました。

ところが先日庭でお会いした時にそのことをお隣の方にチラッとお話しすると「いえいえ、折半でやりましょう」と言われました。
上に書いたように、子供のことや長い目で見た時のことをお話ししたんですが「いえいえ、折半で」というような答えでした。

とりあえず「ではそのうち夫が帰ってきた時にでも改めてお話ししましょう」（夫は今単身赴任中なので）とその場は終わりましたが、今後話をした時に相手を納得させられるようにしておきたいと思っています。

ちなみに相手の返事の様子だと「そちらにばかりお金の負担をさせるのは申し訳ない」という意味で「折半にしましょう」と言っているのかな？という気がしますが、真意は今のところわかりません。

とりあえず、折半で境界の真ん中に敷居を作った時のメリットデメリット、自分達側に作った時のメリットデメリットはどんなものが考えられるか知りたいです。
素人考えでは、とにかく子供や孫の代になった時に折半だと色々面倒だということしか考えつきません。

また、もし私達の敷地側に作ると言うことで相手が了承した場合、何か誓約書！？というか約束事みたいなのを決めて書面にした方がいいのでしょうか？