順番を間違わないように慎重にすすめましょう

watashiさん、はじめまして保険見直しや資産運用・ライフプランを
相談できるファイナンシャルプランナーの照井博美と申します。

更新までにあまり日がなく、無保険だけは避けたい、とのこと。
お気持ちよくわかります。

下記の手順で進めてみてはいかがでしょうか?

とりあえずは、転換ではなく更新を選んでおいてください。
理由は他の専門家の方のコメントの通りです。

ここは新たな保険への見直しが完了するまでの数カ月と割り切りましょう。
保険料が高くなりますが、最終的に減額するのはいつでもできます。
というのも、見直しをした結果、仮に健康状態により新たな契約が
できなかった場合、現状の保険を適正な金額にして継続することになると、
いったん保障を下げてしまうと、あとから保障額を増やそうとした場合に、
新契約ができない体況であるとすれば、いったん減らした保障額を増やす
ことは難しい状況が考えられるからです。

次にwatashiさんご一家で必要な保障や、必要保障額を決定してみてください。
(計算などご自分では難しければ専門家の力を借りることも
視野に入れてみてくださいね。)
ご参考まで「保険を見直すときの優先順位は何か」

それがはっきりしたら、ご希望にあるような、保険料が一生涯上がらず、
掛け捨て型のものなども、上手に取り入れたプランを作ってみて、
それが現在の保険ではないものであれば、それに申し込んでみます。

無事めでたく契約が成立し、新たな保険証券が届き、責任開始日が
始まっていることが確認できたら、(がん保険などの場合通常90日間の
待機期間がありますのでご注意くださいね。)現在の保険を解約する。

という手順を踏まれることをお勧めいたします。