何がより重要なのか順番付けして考えてください。

chinomamaさんへ。大変お待たせいたしました。ファイナンシャルプランナーで所得管理対策が得意分野の杉浦恵祐です。

・両親の国保の支払い義務者が変わるといわれたのですが、具体的にどう変わるのでしょうか?
　　国保料は世帯単位での支払いのため納税通知書の宛先が世帯主であるご主人に変わるだけです。
　　国保料の所得割、資産割、均等割は加入者の所得、資産、人数に対してかかりますので、chinomamaさんとご主人が国保加入者でなければ金額自体は変わりません。

・(両親が)主人の社会保険の扶養?被保険者?になることはできますか?
　　実務は、ご主人の加入している健康保険が、協会けんぽか健保組合か共済組合かで異なります。
　　協会けんぽなら調べられたとおり、60歳以上で子供と同居の場合年収180万円未満なので、お父さんは微妙なところ、お母さんはOKです。
　　一方、健保組合や共済組合の中には、「お母さんはお父さんではなくご主人に扶養されているという客観的な証拠を出せ」という組合があります。
　　一般的な検索等の調べ方ではなく、ご主人の加入先に直接確認してみてください。

・主人を世帯主にしたことで、父の保険料負担や自己負担上限が相当引き上げられる?ように思うのですが?
　　お父さんが住民税均等割非課税者であれば、今までは世帯全員非課税者であったものが、本人のみ非課税者に変わりますので、介護保険料の段階区分や自己負担額や上限額が変わります。
　　あまり知られていませんが、この住民税均等割の非課税基準は、どこの市町村に住むかで全く異なります。
　　1級地(大都市)、2級地(中都市)、3級地(小都市、地方の郡部)
　　以下は、chinomamaさんのお住まいが2級地(水戸市)という前提で解説しますが、3級地なら金額が異なりますので、お住まいの市町村や市町村のHPで確認してみてください。