質問にお答えします。

まずお子様の身長体重の増え方に問題はないでしょうか?
各小学校で1年に3回程度の測定をしますのでそちらの方を確認して下さい。
もし、この点に不安があるようでしたらかかりつけの小児科の先生に相談してみて下さい。
一般に身長の低い方や細身の方は顎も小さい傾向があります。次にそれらの問題がクリアできていたとすれば顎は小さいが大き目の歯が生えてしまったケースが考えられます。
一般論として顎の発達が良くない場合固いものを噛むとよいといわれています。
たしかにそれは本当なのですが、固いものを良く噛むほうが全員歯並びが良いわけではなく、個人差というものも存在します。今あまり噛むことがうまくできていないようですが、おうちの食事は野菜中心との事、離乳食をすすめられていた時代に少しスピードが早かったという事はないでしょうか。これをトレーニングするには固いもの(ガム・グミ・スルメなど)を与えて『さぁ噛みなさい』ではなく、離乳完了直前の固さくらいのものを咀嚼されるほうがいいかもしれません。
また普通のごはん(白米)などでも『30回噛んでゴックン』など親子で楽しくトレーニングをされるのもいいでしょう。その際できるだけしっかり唇を閉じて噛む、唇をしっかり閉じて飲み込むのが大切です。
ラディッシュの件ですが、今前歯が生え変わりの最中でしょうから案外『噛み切る』という動作は難しいのではないかと思われます。
ガムをお使いになる場合、キシリトール100%のものが虫歯予防の面からもおすすめです。その他の器具等もありますが、お子様のお口の状態に合わせて選ぶ事が必要なので、担当の先生又はお近くの小児歯科専門の先生にご相談ください。
尚中にはどうしても顎と歯のサイズのバランスがあわず、顎を広げる矯正のみでは間に合わず、最終的には永久歯(たいていは4番目か5番目の小臼歯)を抜歯しないとキレイに並べることが困難な方もおられるので、ご承知おきください