ご質問にお答えします

いの様、はじめまして。
ＦＰの山本俊成と申します。

１．契約をこのまま放置すると満期保険金を受け取るとき問題が生じるかどうか。その場合、税金はどのようになるか。

満期保険金を受取れないといった問題は生じないと思いますが、受け取りをする際に保険会社によって通常よりも色々と面倒な書類手続きが必要になることが予想されます。
保険契約は法定相続人に相続されますので、誰が相続するかといったことも含め、ちゃんとした形にしたほうがいいと思います。
法定相続人が複数いる場合、争いごとになる可能性もあります。
通常は奥様に相続されるケースが多いです。

また、税金いついてですが「契約者＝保険料負担者」の父が死亡した場合、生命保険契約は相続財産として相続税課税対象となります。
その生命保険について解約返戻金を受取る権利や満期保険金を受取る権利を相続財産として相続税では認識します。
このとき、生命保険契約の権利の評価は、亡くなった時の解約返戻金相当額によって評価されます。
ただし、相続税には５０００万円の基礎控除があり、生命保険には５００万円×相続人数という非課税枠がありますので、一般的には税金がかからないケースが多いです。
相続税がかかるようであれば、当初に遡って徴収されるかもしれません。


２．保険期間中に母に万一のことがあれば誰が受取人となるのか。その際の税金処理。

受取人は法定相続人になります。
一時払い養老保険の税金については、

○満期・解約が契約後５年超の場合
（満期保険金・解約返戻金等　−　一時払い保険料　−　５０万円）×１／２　＝　一時所得
満期金から支払った保険料を引いた儲けが５０万円まで非課税

○保険期間が５年以内及び５年超契約でも５年以下で解約の場合
儲けに対して２０％の源泉分離課税

となります。

詳しくは税務署、保険会社にお問い合わせ下さい。