こたつが好きなら・・

まだ4か月の子犬ですので1人ぼっちが苦手なのは理解できます。
特に家族が常に在宅している環境の場合はなかなか慣れないかもしれません。
まずはきちんとクレートトレーニングを行うことをお勧めいたします。
昼間はこたつで寝ているそうですが、是非クレートで寝かせるよう練習してください。
ご褒美で喜んでハウスに入るということですので、同じようにクレートまで誘導し、扉を閉めるようにしてください。
動き回ったり立ち上がったりできるサークルと違い、クレートは行動が制限されるため、あきらめは良くなります。
こたつで寝るのが好きならクレートに布をかぶせて暗くしてあげれば、落ち着いて寝るかもしれません。(ダックスは特にそういう環境が好きな傾向があります)

クレートやサークルが好きな場所にならないと、いつまでたっても安心して休める場所にはなりません。今はとにかくそこで過ごすと楽しい(またはおいしい)思いができることを学習させてください。

何時間も鳴き続ける状態が続くようなら、クレートを常に自分の隣に置いてください。鳴きやんだらご褒美(フード数粒でOKです)を追加し、少しずつ静かにクレートで過ごせる時間を長くしていきます。
そして、少し立ち上がったり、部屋をうろうろしたり、クレートから離れる動作をしていき、留守番の環境に近い状態を作ってみてください。

普段留守番が必要ない子でも、何かの事情で一人にならなければならない時はやってきます。
今が踏ん張り時です。頑張ってください。