MySQL は長文の検索機能に優れています

*データベースのメリット
MySQLに限らずデータベースを使うメリットは
　「大量のデータを高速で正確に処理できる」
という点です。

**データベースのデメリット
もともと大量の処理をする目的のツールですので、データ量が少ない場合や単純な処理にはデータベースを使わないでシステム構築した方が「さくさく動く」システムができる場合があります。

また、このような場合に「データベースの使用」にこだわるとコストがかさむ場合もあります。

*MySQLの得意は検索
一概に言えない点もありますが誤解を恐れずに言いますと...

MySQLは、PostgreSQLに比べて検索の速度と機能に優れています。
「かゆい所に手の届くような」ユニークな検索機能があり、これがまた高速で動きます。
また、全文検索機能を備えていますので、CMSなどの文章管理システムの構築に向いています。

**MySQLのデメリット
バージョンごとに仕様の変更が多いので、違う環境にインストールする場合システム修正が必要になる場合があります。
これは一般的には開発コストに反映します。

*PostgreSQLとの比較
MySQL の古いバージョンでは、「エラーが起こった時にすべてをリセットする機能(トランザクション管理)」や「一つの更新に伴い自動的にデータの整合性を取る機能(トリガ)」が無かったので、「データベース」としては随分機能が劣ったものに思えました。

現在のバージョンではこれらの機能が追加されていますので、大きな機能の違いはないと言えるでしょう。

*選択は開発者に一任がおすすめ
どちらのデータベースも精力的な開発が続いていますので、また、性能は実装の仕方によって大きく左右されますので、データベースの選択については開発担当者に任せるのが良いかと思います。