下の子にだけ噛みつく

まず、一般的に小さなお子様と犬という組み合わせは問題が起こりやすいです。
特に子犬ならば、噛んで遊ぶ時期なのでお子様が噛まれてしまうというのも当然と言えます。
ですから、飼い主さん(=親)がしっかりと管理し、お子様とワンちゃん両方にマナーを教えなければいけません。

しかしこのことに関して、ここだけで説明することはできません・・・。
今は、ななミルママさんご自身がどのように管理したら良いのか、どのようにしつけたら良いのか分からない状態だと思うので、ぜひ専門家に直接見てもらってアドバイスを受けることをお勧めします。

「今のところ、抱っこをしたらおやつをあげるというのを繰り返すようにしています。方法に間違いはないでしょうか。」というご質問にはお答えできるので、回答させていただきます。
上記の方法は間違ってはいません。ですが、できればおやつを与えながら抱っこするとさらに良いと思います。

抱っこの際に噛み付くのは、たいてい上手に抱っこできていないからです。
子犬は動きが激しくなりやすいので、きっとその状態で無理に抱いてしまっているのだと思います。
ですから、おやつで動きを止めた状態で落ち着いて抱っこすれば噛まれることはないはずです。
(もちろん、抱っこした後にもおやつをあげてください。)
息子さんにも抱っこの際にうなるそうなので、二人とも抱っこするときはおやつを使ったほうが良いでしょう。
※お子様に限らず誰が抱いても嫌がる傾向があれば、足に異常がないか獣医さんでチェックしてください。

早い段階で、お子様とワンちゃんとの関係をどのように築けば良いか分かれば、きっとプードルちゃんはお二人のお子様にとってかけがえのない妹になりますよ(^-^)