追記に対する回答です

はじめまして、イーイットの細目と申します。
長くなりましたので、追記にて分割させて頂きます。

?こちらに関してなのですが、まず、サーバーは別会社にデータ移行するだけで終わるので単純なのですが、ドメイン管理を業者に任せているということなので、ドメイン設定変更は少し大変になります。
ドメイン取得を代行という形で行われている場合は、DNSの設定を変更(ドメインでのアクセス先サーバーの変更)するだけで大丈夫なのですが、ドメインのレジストリ等まで管理されている場合は、ドメインの移管も行う必要があります。
（※通常はレジストリ登録の出来る業者に対してドメイン取得の代行という形が多いです。レジストリの登録とは、ドメインの登録情報を直で書き換えることです。）
ドメイン移管に関しましては、他の専門家の方たちがおっしゃられる通り、ドメインの買取等の費用が発生する可能性も出てきます。
また、DNS設定を変更した場合、設定浸透まで最大で２週間かかると見た方がいいです。
この設定変更に関しては、ユーザー側プロバイダーの問題となるため、自らアクセスして新しい設定が反映されていたとしても、反映されていないプロバイダーも残ると考えて２週間ぐらいを目安に余裕を見ていた方がいいです。
なお、設定反映までは前のサーバーにアクセスされる状態になります。

?サイトデザイン変更等も御社にて行われるということでしょうか？
その場合、サーバーも単なるレンタルサーバーに変更し、ドメインは「名づけてねっと」や「Value Domain」などに移管する形で大丈夫かと思います。
ただ、もし、そのような作業が出来なく、御社が分かる範囲での管理となった場合、新業者にどこまで御社で行われるかという部分を明確にして充実した管理画面を作成して頂く形がよろしいかと思います。