お答えします。

Defp726さん、こんにちは。
音楽家としての収入が増え、現在は被扶養者になっているの税金や社会保険上の扶養枠を超える場合、どのような手続きが必要になるのかというご相談ですね。
以下4つに分けてご回答いたします。

1. 基準「103万円」は誤り

まず、税金の被扶養者となる基準を「103万円」とされていますが、Defp726さんの場合この考え方は少し変える必要があります。

(1) 「所得」（収入から費用などを引いた額）が一定額をこえると「確定申告」というものが必要となりますが、この「一定額」は「38万円」です。
(2) この「所得」にはいろいろな種類がありまして、「103万円」というのはあくまでも全額を「給与所得」とした場合の話。
この場合はもらったお給料から「給与所得控除」65万円を引いた金額が「38万円」を超えなければよいので、「103万円」となる訳です。
一方Defp726さんのような、音楽家の方が受け取る印税は「事業所得」になります。「事業所得」の部分からは「給与所得控除」は引けません。

従ってDefp726さんの場合、「給与所得（アルバイト収入-65万）」「事業所得」を合算した金額が「38万」を超えると税法上の扶養枠を外れ確定申告が必要になる訳です。
この判断は毎年の所得により変わりますので、一度扶養を外れても、翌年再び所得が下がった場合は被扶養者に戻ることができます。

一方、社会保険に関しては130万は「収入」の基準ですが、被扶養者が「事業所得」のある場合の扱いが保険によって様々で一概に言えません。
「何をもって収入とするのか（事業の場合、経費を差し引けるのか？）」「収入が下がった場合、扶養にもどれるのか」等、
親御さんの勤務先や加入している社会保険組合に問い合わせされるのがよいでしょう。

2. 事業所得の考え方

この「事業所得」ですが、こちらも受け取った金額の全額が事業所得になる訳ではありません。
作曲を行うためにかかったお金（費用）は差し引くことができます。楽器、ＰＣ、ソフトウェア、関係者との打ち合わせや営業にかかった諸費用などが考えられるでしょうか。
音楽関係の収入である「45万円（プラス）」から費用を差し引き、「事業所得」を算出してみてください。
なお個人事業の決算はその年の年末になりますので、所得額はその年の終わりまでの金額です。

3. 確定申告が必要になった場合

最終的な所得合計が38万円を超えた場合、「確定申告」を行います。
「確定申告」の時期は例年２月～３月半ばで、実際の支払時期は４月末です。
初めての場合は特に税務署から案内などはありませんので自分で役所などで配布されている用紙などをもらって進める必要があります。
税務署が「青色申告相談会」といった形で無料で相談できる場を設けているかもしれません。お住まいの地域の管轄税務所を調べてみましょう。

将来的に税金を安くするためには、税務署に開業届を出し「青色申告」にすることが考えられます。
自由業、フリーランスの方のための税金の説明した本もありますので「確定申告」をキーワードに探してみてください。

4. 最後に、、、

103万円・130万円の壁といった事柄に関する情報は多くの場合、主婦の方が扶養の範囲に留まるためにパートをセーブするといった利用を想定して書かれています。
確かに節税は大事ですが、Defp726さんの場合、将来的には音楽家としての収入を増やし生計を立てて行くことをご希望と思います。
そこで重々ご承知とは思いますが、将来の仕事に繋がりそうな仕事はセーブするべきではありません。
扶養者のご理解を得られる範囲でですが、一次的に各種負担が増すことは投資と割り切ることも必要でしょう。

Defp726さんのご成功をお祈りいたします。

参考リンク：

国税庁:タックスアンサーNo.1180　扶養控除
「103万円以下」は「給与のみの場合」であることが分かります。
https://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/1180.htm

No.1300　所得の区分のあらまし
「事業所得」については以下をごらんください。
https://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/1300.htm

専門家プロファイル：社会保険の被扶養者が自営業を始めたら国保に加入？
被扶養者が事業主である場合の扱いは保険組合により様々であるという話が出ています。
http://profile.ne.jp/ask/q-96276/

国税庁：兵庫県の税務署と管轄地域の一覧
https://www.nta.go.jp/osaka/guide/zeimusho/hyogo.htm