原則、ｋｉｎｇ７５８さん名義で申告することになります

非常に難しい話ですので、ある程度は推測で話を進めます。

１）賃貸物件の土地・建物の資金出所

　これは、住宅ローンをｋｉｎｇ７５８さん名義で借りたとのことですので、登記も同様になっているのではないでしょうか。

　その場合、不動産に関しては税法は原則名義主義を取っているので、ｋｉｎｇ７５８さんの所有物とみなすことになると思います。

　その場合、賃貸契約の借主の名義は親名義で家賃振込口座も親の口座になっていても、それは単に家賃を預かっているだけで、家賃収入はｋｉｎｇ７５８さんのものではないかと考えます。
　また、その方が、借入利息などを経費に算入することができます。

２）昨年１０月から賃貸を開始した為、家賃収入としては、２０万円以下となります

　計算して収支がマイナスになれば、損益通算できますので申告する方がお得です。
また、２０万円以下の場合、税務署への申告は不要ですが、住民税の申告は必要になりますのでご注意ください。

３）年の家賃収入が２０万円を超える今年分から申告の対象となるのでしょうか？

　なります。

　税務署には3月１５日までに「青色申告選択届出書」を提出することをお薦めします。10万円だけですが、青色申告控除が今年から使えるようになりますし、帳簿の付け方を無料で相談することもできるようになりますよ。

　また、「開業届出書」も同時に提出しておいてください。

　これを出しておくと、確定申告前に書類が届けられたり、改正があった際の説明会の案内なども届きます。