契約にエアコンが設備として含まれているならば・・・

大家さんはエアコンの修理や交換をする義務がありますし、管理会社も知っていると思われます。
しかし管理会社からしても、エアコン修理（交換）の発注者（=お金を払う人）である大家さんのOKを取らないと動けない所でもあります。
また、毎月のお家賃の振込先が管理会社なのか、大家さんの口座なのかによって、管理会社の対応も変わりますので、その辺も確認したいところですが・・・
窓口が管理会社しかない以上、管理会社と交渉するしかありません。
とにかく・・この暑さなので急を要しますよね。
大家さんと連絡が取れないのであれば、管理会社に以下の順で交渉をしてみてはいかがでしょうか。
1.管理会社に修理発注をしてもらい、管理会社から修理業者へお金を払ってもらう。（賃料の振込先が管理会社の場合）
2.管理会社に発注してもらい、自分で払う。ただし払った分を送金賃料から差し引いて振り込む（賃料の振込先が大家さんの場合）
3.自分で量販店等でエアコンを発注し自分で払う。ただし払った分を送金賃料から差し引いて振り込む（賃料の振込先が大家さんの場合）
ただ、上記のいずれも勝手にやってしまうと問題になります。
エアコンも5万円から50万まで幅広い価格帯の商品ですので、あくまで金額を仮定した上で管理会社の了承を取っておいた方がいいと思います。
もし管理会社が近ければ、電話より会って話した方が合意が近づくと思います。
とにかくこの猛暑ですので一日も早い改善をお祈りいたします。
ご自愛ください。