親族間の売買について

こんにちは。株式会社アキヤマの秋山浩史です。
まず、公的機関ということですが、不動産売買の契約締結に関して、仲立ちするような公的機関は私の知る限り存在しません。
white treeさんがおっしゃっていいるのは、身内の売買なので不動産業者に依頼して、余計な費用をかけないようにしたいということだと思いますが、それについては理解できます。
ご質問のような、お父様名義の土地を、子供3名で購入されるという法律行為をする場合には、一般的には二つの手続きがあります。
ひとつは、「不動産売買契約書を締結する」という手続きで、こちらについては不動産業者を入れて行うのが一般的です。

もうひとつの手続きは、「登記名義人をお父様から子供3人に書き換える（所有権移転登記）」の手続きです。こちらは通常司法書士の先生に依頼して、法務局に提出する登記書類を作成してもらい、しかるべき手数料を支払って、登記手続きをしてもらいます。

通常は、この二つの手続きをもって、土地の売買という行為が完結します。

ただ今回のように親族間の売買の場合、不動産業者を仲介に入れないケースもあります。

いずれにしても売買契約的結後の「所有権移転などの登記手続き」は、司法書士の先生に依頼されるようになるんですよね？
もし、そういうおつもりならば、売買契約書の作成も司法書士の先生に依頼されるのが、一番良い方法だと思います。

ひとつだけご注意いただきたい点は、売買に関しての「価格」の問題です。
親族間の売買の場合、ある程度安く売買できるのは税務署も認めるところですが、「固定資産税評価額」を下回る売買になると、認められないケースもあるようです。
今回の売買は、私道の売買のようですね。取得するかた一人当たりの、固定資産税評価額が、110万円を超えないようであれば、「売買」ではなく「贈与」で所有権移転するのも、節税案としては考えて方がよいと思います。
いずれにしても、所有権移転の依頼をする司法書士の先生に、その辺もご相談になったらいかがでしょうか？