できることは、いろいろあります。

Kopa様

こんにちは。在米１６年のビジネスコーチ鶴田育子と申します。

気になったときすぐ連絡が取れない、行動を起こそうにも、何をしていいのかわからない、停滞している現実とは裏腹に、安否を気遣う思いは募るばかり。心中御察しいたします。

おばあさまは、国際結婚されたあとも、日本国籍をお持ちでしたか。
また、マイアミの日本領事館に在住届けを提出されていらっしゃったでしょうか。

もし、日本人としての手続きをされておられたのであれば、マイアミの日本領事館に、行方不明者の捜索願いを申請します。
http://www.miami.us.emb-japan.go.jp/jp/officeguide.htm


永住権をとって、アメリカ市民になっていたのであれば、おばあさまの在住所管轄の警察所に行方不明者（Missing person）届けを出します。

日本の外務省http://www.mofa.go.jp/mofaj/index.htmlに、以下の情報を提出し、行方不明者の捜査援助依頼を提出してもいいでしょう。

おばあさまの名前、住所
パスポート、運転免許証の番号
最後に連絡の取れた日付
最後におばあさまが現地の人と交流した日付
在米理由
警察に申請した行方不明者の申請書コピー

ただし、外務省に依頼すると、捜査に関する諸経費が自己負担になることがありますので、詳細は、外務省にお問い合わせください。

その他、ご自身でもできるのは、以下のようなことです。

もし、マイアミ周辺在住のおばあさまの知り合いをご存知であれば、連絡を取る。
おばあさまが在住していた場所の近くの高齢者介護施設に、入居していないかどうか問い合わせる。
おばあさまが在住していた場所に近い医療施設に入院履歴がないかどうか問い合わせる。
おばあさまが賃貸家屋にお住まいだったのであれば、その家の家主に連絡を取る。
持ち家であれば、登記所に連絡を取る。
おばあさまの利用していた銀行、クレジットカード会社に連絡を取り、最後にいつ利用されたか調べる。


息子さんが一人いらっしゃるとのこと。たとえ、同居されていなかったとしても、もし、息子さんがアメリカに住んでいらっしゃるのであれば、その方に動いていただけるようお願いするのも、一つの手だと思います。

Kopa様の気持ちが、早く安らぎますように。この回答がお役に立てば、幸いです。