安心できる環境づくりをして、外出はさりげなくしましょう。

引っ越して２ヶ月とのことですが、粗相は引っ越しをしてからのことでしょうか？そうであれば新しい環境に不安を感じて、飼い主さんがいなくなると粗相をしてしまうことが考えられます。
また、クレートの中で暴れるということですが、クレートのサイズが大きすぎることはありませんか？クレートは犬がフセをした状態でジャストのサイズがいいので、そのサイズですとあまり暴れたり動きまわる事はできないはずなので落ち着きやすくなります。
ただ、扉が開いていれば自分から入るということは、クレートに慣れていないわけでもなく、おそらく扉を閉められて飼い主さんがいなくなることに不安を感じてしまうのではないかと思われます。
とりあえず粗相をやめさせたいのであれば、出かける時や目を離す時は、扉をあけたままのクレートとトイレを置いて、その周りをゲートやサークルで囲って小さなお部屋を作ってみましょう。そして在宅中に、その状態で何度も一人にしてみて愛犬がどのような状態になるかを観察してみましょう。不安を感じてそわそわしているようなら、すぐに戻り、また部屋を出るということを何度も繰り返して、少しずつ一人でいる時間を長くしてみて下さい。
そして、犬は前触れを敏感に感じますので、朝夕の外出の時は、テレビをつけっぱなしにしておいたり、出かける前のいつもの行動（鍵を持つ、上着を着るなど）を直前に行ったりしないようにしたり、同じパターンにしないようにしたりして、できるだけさりげなく出ていくようにしてみましょう。
また、夜寝る時はクレートに入れて、寝室に置いて一緒に寝てあげたり、いっぱい遊ばせて疲れさせてからクレートに入れて、そばで一緒に寝てあげたりして、クレート内で安心して寝られるようにもしてあげましょう。
今は不安の方が大きいので、症状が改善されるまでには時間がかかると思いますが、愛犬の様子を見ながら少しずつやってみて下さい。