出来ることから一つずつ整理してみましょう。

はじめまして。　北海道、旭川市で行政書士をしている小林と申します。

現在は母子３人で生活していると言うことでよろしいでしょうか？

＞｢離婚調停を申請したので、もう家族でもなんでもない!毎月５万円振込む話は白紙だ!｣

旦那さんのこの発言は身勝手で一方的な義務の放棄であって法的には根拠の無いものです。

当面の生活費に事欠く状況にあるときには、調停を申し立てた裁判所に対し、生活費の仮払いを求める調停前の仮の措置を求めることが出来ます。（家事審判規則１３３条１項）

ただし、調停前の仮の措置は執行力がないため実効性は薄いとされています。

調停不成立後に審判に移行する場合には審判前の保全処分を申し立てることが出来ます。
審判前の保全処分は執行力がありますので、直ちに相手の給与債権などを差し押さえることが出来るようになります。

一度裁判所に、調停前の仮の措置と審判前の保全処分の手続きについて確認されることをお勧めします。

支援を受けられないと書かれていますが、実際に窓口でどのような相談をされましたか？
こども手当ては受け取っていますか？
生活保護については別居の段階でも支給している自治体はあるようです、実際に申請手続きをされたのにも係わらず認められなかったのでしょうか？

自治体には子供支援室や女性相談室などの相談機関があると思いますので、相談してみてはいかがでしょうか？

一つずつ整理して当たってみたら解決の糸口が解けてくると思います。

良い方向に進みますように。