いいものがあれば紹介したいのですが

こんにちは、お庭の設計施工アーバンスケープの中島と申します。
ご質問ありがとうございます。

グランドカバーの植物は多くの種類がございますが、トイプードルちゃんが走り回れるとなると芝生に勝る植物はよーく考えてもない気がいたします。

グランドカバーは基本的に上に伸びることがないかわりに横に伸びていくものがほとんどです。
ヒメイワダレソウ、ヒメツルソバ、グレコマ、リシマキアオーレアなどがあります。
写真はヒメイワダレソウです。これらはグランドカバーの中でも上にはそれほど伸びません。多少踏むぐらいならすぐに復活しますが、基本的には歩く場所には向きません。ワンちゃんにも引っ掛かる感じになるでしょう。

他にはダイカンドラやクローバー系など踏んでも丈夫な物もありますが成長すれば１０ｃｍ程度の高さが出てきます。アジュガも花が上に２０ｃｍほど伸びてきますので不向きかと思います。セダム類も踏む物ではないです。

タマリュウではワンちゃんが走りまわるお庭のイメージ自体に似合わないですし、結局高麗芝しか残らないという結論になりませんでしょうか？

全く検討違いのアドバイスになってしまうかもしれませんが、芝生のお手入れをある程度さぼるというのはどうでしょうか？
　芝生の周りに芝生の色とのコントラストがある植物を植えて芝生を緑の床面という認識にするお庭を作って多少の雑草が混じっても気にしないよう割り切るという考え方です。

　雑草は一緒に刈ってしまいます。施工の際に川砂の多い土壌に表層を変えて雑草がどうにもならなくなる時期（多分５年から１０年）が来たらはずしやすいので再度芝生をやり直すぐらいの気持ちで芝生と関わってはいかがでしょうか？出てくるたびに雑草を抜いていく作業は根気が要ります。

芝生周りの植物としてはフィリフェラオーレアやシモツケ・ライムマウントなどの黄色い葉の物、ヘリクリサムなどのシルバーリーフ、スモークツリーのロイヤルパープルなどの銅葉などを取り入れて色のきれいなお庭ならメリハリがあって多少の事は気にならなくなるかなと思います。（持論ですが）